2024年度

    [第1回]
    講師　 Marco Falconi (Milano工科大)
    日時　3月25-29日
    講演題目　集中講義　Semi-classical analysis on QED

    [第2回]
    講師　 佐々木格 (信州大)
    日時　6月3-7日
    講演題目　集中講義

    アブストラクト: 光のように粒子が生成・消滅するような量子論の体系が場の量子論である. 粒子の生成・消滅を記述する作用素は，無限次元の正準交換関係(CCR)を満たすものとして定義され，量子場においては最も基本的な概念である. CCR を保つような変換は Bogoliubov 変換と呼ばれ,量子場を解析するための基本的な手法の一つになっている. 対模型(または対相互作用模型)と呼ばれる量子場の模型は Bogoliubov 変換によって対角化され，スペクトル解析を行うことができる. 講義では，関する一連の理論を解説する.

    [第3回]
    講師　 平良晃一 (九大)
    日時　6月13日
    講演題目　Essential self-adjointness of wave operators on Lorentian manifolds

    アブストラクト: 本質的自己共役性とは与えられた微分作用素の自然な境界条件がただ一つ定まることをいう. 楕円型作用素, 特にリーマン多様体上のラプラシアンに対しては多くの先行研究があり, 計量が完備(特にコンパクト)であれば対応するラプラシアンが本質的自己共役となることが知られている. ここでは楕円型ではない作用素の典型的な例としてローレンツ多様体上の波動作用素(ダランベルシアン)を扱い, その本質的自己共役性について得られた結果を述べる. 証明の鍵は, 超局所解析を用いて波動作用素の大域的正則性を導出することにある.

    [第4回]
    講師　 樋口健太 (愛媛大)
    日時　6月20日
    講演題目　エネルギー交差における状態の半古典漸近挙動について

    アブストラクト：行列値関数を表象とする半古典擬微分作用素のスペクトル・散乱問題は，断熱遷移問題や多原子分子の散乱問題など物理学におけるさまざまな問題を記述するモデルとして研究されている．半古典擬微分作用素は十分小さな値をとるパラメータ（半古典パラメータ）を含む積分作用素であり，半古典パラメータはモデルによってプランク定数や時間のスケールなどに対応する．この行列値関数の固有値の多重度が定数の場合，対応するスペクトル・散乱問題は半古典極限において適当な意味で対角化される．一方，多重度が変化する場合（エネルギー交差）は，行列値であることの効果が多くの場合より顕著になる．本講演では，エネルギー交差の近傍における解の半古典漸近挙動の解析手法を紹介する．また，この漸近挙動から導かれる結果についても述べる．内容の一部はMarouane Assal氏（サンティアゴ・デ・チレ大）と藤家雪朗氏（立命館大），渡部拓也氏（立命館大），Vincent Louatron氏（立命館大）と平良晃一氏（九州大）のそれぞれとの共同研究に基づく．

    [第5回]
    講師　 高江洲俊光 (群馬大)
    日時　10月4日
    講演題目　ポテンシャルの減衰によるbinding 条件

    アブストラクト: 粒子と量子場が相互作用する系について考察する. 系のハミルトニアンはポテンシャルが加わったシュレディンガー作用素と第二量子化作用素と相互作用から構成されている. binding condition とは遠方でのハミルトニアンの期待値の下限が最低エネルギー状態よりも大きくなるという条件である. 通常, binding conditionは粒子のハミルトニアンの基底状態を用いるが, 粒子のポテンシャルの減衰性からbinding conditionが示せることについて解説する. arxiv:2409.14080

    [第6回]
    講師　 福嶌翔太
    日時　11月7日
    講演題目　界面抵抗のある完全導体による静電場の摂動

    アブストラクト：ラプラス方程式による完全導体の周りの静電場の解析は古典的な問題であるが, 最近になって二つの完全導体が限りなく近づくときその接点付近で静電場の大きさが無限大に発散することが数学的に知られるようになってきた．これは完全導体の界面抵抗がゼロのときに発生する現象である．一方, 界面抵抗がゼロでないときにこの現象が起こるかどうかは知られていなかった．本講演では, 界面抵抗がゼロでないときには静電場の大きさが有界にとどまることがあることを説明する．また, 別の問題として, 界面上の擬微分作用素を用いて界面抵抗がゼロに近づくときの極限を扱う．本講演の内容はYong-Gwan Ji氏 （KIAS）, Hyeonbae Kang氏（Inha Univ.）およびXiaofei Li氏（Zhejiang Univ. of Technology）との共同研究に基づく．

    [第7回]
    講師　 Marius Wesle (Tuebingen)
    日時　12月12日
    講演題目　Hall-conductivity in periodic infinite-volume Systems

    アブストラクト：Given a 2-dimensional system of interacting electrons, one can apply an electric field of strength ε in one coordinate direction and consider the current that this induces in the perpendicular direction. One then defines the Hall conductivity to be the linear coefficient in the asymptotic expansion of this current response with respect to ε. In this talk I will explain how in infinitely extended periodic systems of interacting lattice fermions, one can rigorously realise the linear response definition of the Hall-conductivity described above using the NEASS (Non-Equilibrium Almost Stationary State) approach to linear response theory. In the process we will recover a many-body version of the double-commutator formula, which is a well known formula for the Hall-conductivity in non-interacting systems, and show that the current response is purely linear with no polynomial corrections. Our proof also allows for a simple argument that shows that the Hall-conductivity is constant within symmetry protected topological phases.

    [第8回]
    講師　 佐々木伸（熊本学園大学）
    日時　12月19日
    講演題目　Picard-Fuchs方程式を用いた荷電球対称時空におけるテスト粒子の散乱角の解析

    アブストラクト: 一般相対性理論において，古典的なテスト粒子の軌道は与えられた時空（擬リーマン多様体）の測地線として記述される。 本講演では荷電球対称時空におけるテスト粒子の散乱角を考える。この時散乱角は積分表示を持つことが知られているが，ここではその積分表示が満たすPicard-Fuchs方程式に着目する。 最初に最も簡単なブラックホールのモデルであるSchwarzschild時空における無質量粒子の散乱角が，粒子の軌道の衝突係数を独立変数として，非斉次項を伴うGaussの超幾何方程式を満たすことを示す。 続いてSchwarzschild時空の一般化の1つである，荷電球対称時空を表すReissner-Nordstrom時空における無質量粒子の散乱角が，粒子の衝突係数と時空の電荷に対応する二変数について非斉次の線形偏微分方程式系を満たすことを示す。 さらにその偏微分方程式系と等モノドロミー変形及びPainleve VI方程式(PVI)の代数解との関係について解説し，PVIの特異点において背景時空や粒子の散乱角の振る舞いが定性的に変化することを議論する。 時間が許せば，これらの議論をより一般の時空や質量を持つ粒子の散乱角の計算へと拡張することの他，波動方程式の解との関係について簡単に述べる。

    [第9回]
    講師　 Ammari Zied（Rennes I）
    日時　3月
    講演題目　TBA

    2023年度

    [第1回]
    講師　 平良晃一 (立命館大)
    日時　7月19日
    講演題目　Threshold resonances for discrete Schroedinger operators

    アブストラクト：本講演では離散シュレディンガー作用素の閾値共鳴状態について得られた結果を述べる．ここで，閾値とは古典粒子の速度が零になるようなエネルギーのことを表している．これに対応する量子系を考えると，速度が零であるのにも関わらず不確定性原理の影響で無限遠点に逃げていく状態が存在することがあり，これを（閾値）共鳴状態と呼ぶ．連続空間のシュレディンガー作用素の共鳴状態についてはJensen-Katoの仕事により概ねその性質がわかっており，時間発展作用素との関連まで含めて研究されていた．一方，離散シュレディンガー作用素については閾値の性質が連続空間の場合とは異なり調べるのが困難になる．ここでは，閾値共鳴状態が存在，非存在や存在した場合の共鳴状態の性質について得られた結果を述べる．本研究は野村祐司教授との共同研究である．

    [第2回]
    講師　 石田敦英 (東京理大)
    日時　10月12日
    講演題目　時間減衰する調和振動子の下での逆散乱について

    アブストラクト　通常の調和振動子とは異なり，時間減衰する係数をもつ調和振動子は粒子を加速させ散乱現象を引き起こす．本講演では短距離型相互作用ポテンシャルによって摂動させた時間減衰調和振動子の量子力学系において，Enss-Wederの高速度極限の手法を用い，散乱作用素からポテンシャル関数の一意性を導く逆散乱についての結果を報告する．特にポテンシャル関数にはクーロンポテンシャルを含むような特異性を許容できることを紹介したい．

    [第3回]
    講師　 渡部拓也 (立命館大)
    日時　10月26日
    講演題目　複数の接触交差が生成する小さな擬交差間の2準位断熱遷移確率

    アブストラクト　１回の線形交差によって生成される擬交差間の遷移確率を記述するLandau-Zenerの公式について，本研究では断熱近似（準古典解析）の枠組みで，この公式の一般化を考察する．断熱パラメータに加え，擬交差間のエネルギーギャップも小さなパラメータとして考察するとき，変わり点の合流に起因する問題により，典型的な準古典解析の理論が適用できない場合が存在する．特に，接触交差により生成される擬交差モデルに対して，上記の場合の遷移確率の断熱極限の問題は未解決であった．本講演では，複数回の接触交差によって生成される擬交差モデルに対して，Landau-Zenerの公式の一般化として得られた結果を紹介する．本研究は，樋口健太氏（愛媛大学）との共同研究である．

    [第4回]
    講師　 鈴木章斗 (信州大)
    日時　1月25日
    講演題目　量子ウォークのヨスト解

    アブストラクト　1次元量子ウォークに対するヨスト解を構成し, スペクトル散乱理論を展開する.

    2022年度

    [第1回]
    講師　後藤 ゆきみ (九大)
    日時　7月1日 (確率論セミナーと合同開催)
    講演題目　Spontaneous mass generation and chiral symmetry breaking　

    アブストラクト　量子色力学において, 相互作用が無ければクォークは質量を持たず, 保存量カイラリティーを持つ. 現実にはクォークは質量を持ち, カイラル対称性も破れている. これは相互作用によって真空の対称性が自発的に破れた結果であると考えられている. 本講演では, Kogut-Susskind 型の格子フェルミオンのハミルトニアンを考える. 相互作用は４つのクォークの有効相互作用とし, その強結合領域を扱う. 空間次元が３以上のとき, この模型において無限体積極限をとることにより, 質量項の期待値が非自明な値をとることを証明する. これは連続極限がうまく取れれば, カイラル対称性が自発的に破れることを意味する.


    [第2回]
    講師　只野 之英 (東京理大)
    日時　10月6日
    講演題目　離散シュレディンガー作用素の連続極限について

    アブストラクト　離散シュレディンガー作用素は結晶固体中の電子の挙動を強束縛近似することによって得られるハミルトニアンとして知られる一方で，連続空間上のシュレディンガー作用素の離散近似としての側面もある．格子幅を狭める連続極限で離散シュレディンガー作用素は通常のシュレディンガー作用素に形式的には収束するが，実際に「収束する」ことを厳密に研究したものは非常に少ない．本講演では，正方格子の場合にこの連続極限を作用素論の観点から定式化した上で，その意味で連続極限が成立し，その系として離散シュレディンガー作用素のスペクトルがシュレディンガー作用素のスペクトルの良い近似になっていることを示した結果（中村周氏（学習院大学）との共同研究）を紹介する．時間が許せば，量子グラフの連続極限を扱った最近の結果（中村周氏（学習院大学），Pavel Exner氏（Czech Technical University）との共同研究）も併せて紹介したい．


    [第3回]
    講師　原 隆 (九大)
    日時　10月13日 (九大数理IMI談話会と合同開催)
    講演題目　[第1話](解説) Ising および phi^4 場の理論の4次元時空における triviality について [第1話 録画]

    アブストラクト　「4次元時空で『相互作用のある＝自由場ではない』場の量子論が構成できるか？」というのは 数理物理学の大きなテーマの一つですが，非常な難問です．特に「『スカラー場の理論』を用いる限り， これは不可能であろう」というのが1970年ごろからの大方の予想になっていました（trivialityの予想）． しかしこの予想の厳密な証明は非常に難しく，数十年の未解決問題でした． 2019年，Aizenman と Duminil-Copin によって，この問題がほぼ満足のいく形で解決されました — 5次元以上の時空では Aizenman と Froehlich によって 1981年にほぼ解決ずみ． また Duminil-Copin はこの仕事を含む一連の仕事によって，2022年の Fields 賞を受賞しました． （色々と限定条件はついています．主なものは「格子正則化の極限としての場の理論を考える」 「Ising または phi^4 型のスピン系から出発する」「スピン同士の相互作用は強磁性型， 最近接，並進対称」「スピン系としての高温相または臨界点直上での連続極限のみを考える」 などです．これらの条件の下では，連続極限で構成した場の理論は一般化された自由場になる， というのが結論です．） 本講演では，この重要な結果の解説を行います． 第1回目では「何が問題か」「結果の正確な記述」「使う道具の概要」などを説明し，続く2回で（参加者の興味に応じて）技術的な詳細をお話しする予定です．

    （お断り）原自身は，この問題の解決には全く寄与していません．この講演はあくまで2019年の仕事（およびそれに先行する結果）の解説を行うものです．また，2019年の解析は非常に大変なので，その概要しか触れられないと思われます．

    （主要文献）
    ・Aizenman and Duminil-Copin: Marginal triviality of the scaling limits of critical 4D Ising and phi^4 models, Ann. Math. 194 (2021), 163-235
    ・ Aizenman: Geometric analysis of phi4 fields and Ising models. I, II, Commun. Math. Phys., 86 (1982), 1-48
    ・ Froehlich: On the triviality of lambd phi^4 theories and the approach to the critical point in d(−) > 4 dimensions, Nucl. Phys. B200 (1982), 281-296

    （参考文献）
    ・田崎, 原：相転移と臨界現象の数理, 共立出版，2015
    ・新井，河東，原，廣島：量子場の数理 : 数理物理の最前線, 数学書房, 2016
    ・Fernandez, Froehlich, Sokal: Random Walks, Critical Phenomena, and Triviality in Quantum Field Theory, Springer 1993 　

    [第4回]

    講師　原 隆 (九大)
    日時　10月20日
    講演題目　[第2話](解説) Ising および phi^4 場の理論の4次元時空における triviality について[第2話 録画]


    [第5回]

    講師　原 隆 (九大)
    日時　11月10日
    講演題目　[第3話](解説) Ising および phi^4 場の理論の4次元時空における triviality について[第3話 録画]


    [第6回]

    講師　森田 英章 (MIT)
    日時　11月24日(第6回と第7回は同日開催)
    講演題目　グラフゼータ函数と三種の表示

    アブストラクト　グラフゼータ函数の表示式に関する概説を行います. グラフゼータ函数は有限グラフに対して定義される形式的冪級数で, その研究は伊原康隆氏の1966 年の論文に, その源流を求めることができます. 当初は数論的な動機のもとに導入されましたが, その後 J. -P. Serre, 砂田利一, 小谷元子, 橋本喜一郎各氏により, 有限グラフに対する概念として定式化されるに至りました. その後も, H. Stark, A. Terras, D. Foata, D. Zeilberger, L. Bartholdi の海外勢や, また我国では佐藤巖氏により精力的な研究が行われています. そこでは, 様々な具体的設定のもとに定義されたグラフゼータ函数が考察の対象となってきました. そして, それらの研究で扱われているグラフゼータ函数には, 「指数表示」, 「オイラー表示」, 「橋本表示」と現在よんでいる３種類の表示式が, 常になんらかの形で現れることが観察されます. この講演では, グラフゼータ函数の一般的な定義を与え, そこではこれらの３種類の表示が同値な表示式になっていることを解説し, さらにグラフゼータ研究において一貫して中心問題でありつづけている「伊原表示」とよばれる４種類目の表示との関係について述べたいと思います.


    [第7回]

    講師　石川 彩香 (横国大)
    日時　11月24日
    講演題目　グラフゼータ函数と伊原表示

    アブストラクト　グラフゼータ函数とはグラフに対して定義される形式的冪級数である． 伊原表示はグラフに関する行列で構成される行列式表示であり，その存在を問うことはグラフゼータにおいて中心的な話題の一つである． 先行研究では，具体的な条件を付加したグラフやグラフゼータに対する伊原表示の存在についての議論が各々行われてきた． しかし近年，森田氏（室蘭工大）によりグラフゼータの一般的な定義が与えられ，その観点に基づいた一般的な議論が可能となった． 本講演では，グラフゼータの概要から，伊原表示の一般論に向けた議論の現状について紹介する． 本研究は室蘭工業大学の森田英章氏との共同研究である．


    [第8回]
    講師　Serge Richard (名大)
    日時　12月1日
    講演題目　Scattering theory and an index theorem on the radial part of SL(2,R)

    アブストラクト　In this talk, we present the spectral and scattering theory of the Casimir operator acting on the radial part of SL(2,R). After a suitable decomposition, the initial problem consists in studying a family of differential operators acting on the half-line. For these operators, explicit expressions can be found for the resolvent, the spectral density, and the Moeller wave operators, in terms of hypergeometric functions. Finally, an index theorem is introduced and discussed. This presentation is based on a joint work with H. Inoue.


    [第9回] ポスター
    講師　 高村 博之 (東北大)
    日時　12月2日(偏微分方程式論セミナーと合同開催, 卓越プログラム連携イベント)
    講演題目　The combined effect in one space dimension beyond the general theory for nonlinear wave equations


    [第10回] ポスター
    日時　1月26日
    研究会 [Rabi model and Spin-Boson model]


    [第11回]

    講師　原 隆 (九大)
    日時　2月2日 17時開始
    講演題目　[第4話](解説) Ising および phi^4 場の理論の4次元時空における triviality について[第4話 録画]
    ※「相転移と臨界現象の数理」　　の 付録A　(訂正・修正)　にランダムカレントの目の覚めるような解説があります.


    [第12回]
    講師　 佐々木 格 (信州大)
    日時　2月9日
    講演題目　Bogoliubov変換による対相互作用模型の対角化

    アブストラクト　量子場の相互作用系で厳密に解ける模型は少ない. その中で，解ける模型とされてきた模型の一つに対相互作用模型がある（対模型，ペアモデルとも呼ぶ方が一般的かもしれない）. これは場の2次の相互作用を持つ量子場であり，ヘンリー・ティリングの教科書では「解ける相互作用の例」として紹介されている. そこでは，古典場に対する散乱理論とBogoliubov変換を経由してハミルトニアンが対角化される. 新井氏はこの手続きを数学的に正当化し，双極近似のPauli-Fierz模型などの解析に応用した. 本講演では，散乱理論を経由せずに，直接的にBogoliubov変換を経由し対角化を行う方法を紹介する. 対角化後のハミルトニアンは具体的な1粒子ハミルトニアンの第2量子化と基底状態エネルギーとの和に表される.
    (参考文献) Y. Matsuzawa, I. Sasaki and K. Usami: Explicit diagonalization of pair interaction models, Analysis and Mathematical Physics(2021)